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Statistik
Das arithmetische Mittel, den Median und den Modus berechnen
Die Spannweite, die Varianz und die Standardabweichung berechnen
Tschebyschews Theorem und die Empirische Regel
Perzentile, Dezile und Quartile

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Das arithmetische Mittel, den Median und den Modus berechnen
Das arithmetische Mittel, der Median und der Modus sind einzelne Zahlen, die helfen zu beschreiben, wie die einzelnen Ergebnisse in einer Datenmenge dem Wert nach verteilt sind. Eine Datenmenge besteht aus Beobachtungen von Variablen, diese wird auch als Rohdaten oder Urliste bezeichnet.

Das arithmetische Mittel

Das arithmetische Mittel ist eine andere Bezeichnung für den Durchschnitt eine Menge von Ergebnissen. Der Mittelwert kann durch die Division der Summe der Werte durch die Anzahl der Werte errechnet werden.
Zum Beispiel wird das arithmetische Mittel von 5, 8, 2 und 1 berechnet, indem man die Zahlen zuerst addiert. 5 + 8 + 2 + 1 = 16. Das arithmetische Mittel wird dann berechnet, indem man die Summe durch die Anzahl der Werte dividiert. Unsere Menge von Messwerten 5, 8, 2 und 1 hat 4 verschiedene Zahlen, daher ist das arithmetische Mittel 16 : 4 = 4.

Der Median

Der Median eines Datensatzes ist der mittlere Wert, wenn der Datensatz nach seinen Werten geordnet wurde. Um den Median von 2, 9 und 1 zu finden, muss man zuerst die Reihenfolge ordnen. 1, 2, 9. Der Median ist die mittlere Zahl oder 2.

Wenn du eine gerade Zahl an Werten hast, wie 1, 2, 5 und 8, dann ist der Median der Durchschnittswert der beiden mittleren Zahlen. Der Median für 1,2,6 und 8 ist der Durchschnittswert aus 2 und 6 = 4.

Der Modus

Der Modus einer Datenmenge von Werten ist die Zahl in der Menge, die am häufigsten vorkommt. Zum Beispiel kommt die Zahl 5 dreimal in 1, 2, 5, 5, 5, 8, 8, 9 vor. Da die Zahl 5 am häufigsten vorkommt, ist sie der Modus. Eine Zahlenmenge kann mehr als einen Modus haben, solang die Zahl mehr als einmal vorkommt. In der Menge 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5 ist der Modus 2 und 3. Wir können auch sagen, dass diese Menge bimodal ist.

Wenn keine Zahl öfter als einmal vorkommt, dann hat die Menge keinen Modus.


Titel des Arbeitsblattes:



Die Spannweite, die Varianz und die Standardabweichung berechnen

Die Spannweite

In einem Zahlensatz ist die Spannnweite gleich dem größten Wert im Datensatz minus dem kleinsten Wert im Datensatz.

Die Spannweite sagt dir, wie weit gestreut der ganze Datensatz ist. Zum Beispiel, wenn man die Zahlen -3, 5, -9 und 19 nimmt, ist die größte Zahl 19. Die kleinste Zahl ist -3. Die Spannweite ist daher 19 - (-3) = 22.

Varianz und Standardabweichung Die Varianz und die Standardabweichung einer Datenmenge messen die Streuung der Daten um das arithmentische Mittel der Datenmenge.

Die Varianz eine Probe der Größe n dargestellt durch s 2 ist gegeben bei:
s 2 =
[Die Summe von (x - arithmetisches Mittel) 2 ]
(n-1)

Die Standardabweichung kann man berechnen, indem man die Quadratwurzel der Varianz nimmt.

Titel des Arbeitsblattes:



Tschebyschews Theorem und die Empirische Regel
Die Chebyshev-Ungleichung (Satz)

Die Chebyshev-Ungleichung ermöglicht es einem, den Wert einer Standardabweichung auf jede Datemenge zu erkennen.

Satz: Der Teil jeder Datenmenge der innerhalb k Standardabweichungen vom arithmetischen Mittel liegt ist mindestens
1 -
1
k 2

wenn k = eine Zahl größer als 1.
Dieses Theorem kann auf alle Datensätze angewendet werden, die eine Stichprobe oder eine Population (Grundgesamtheit) enthalten.

Emipirische Regel

Die empirische Regel gibt genauere Informationen über eine Datenmenge als die Chebyshev-Ungleichung, jedoch gilt sie nur für Datenmengen die glockenförmig sind.

Satz:
68% der Beobachtungen liegen innerhalb einer Standardabweichung vom arithmetischen Mittel.
95% der Beobachtungen liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen vom arithmetischen Mittel.
99.7% der Beobachtungen liegen innerhalb von drei Standardabweichungen vom arithmetischen Mittel.


Titel des Arbeitsblattes:



Perzentile, Dezile und Quartile
Angenommen 45 von 50 Schülern hätten Prüfungsergebnisse von weniger als 80. Da 45/50 = 90%. Wenn du ein Ergebnis von 80 hättest, wärest du im 90. Perzentil.

Das Perzentil für eine Beobachtung x wird berechnet, indem man die Anzahl der Beobachtungen kleiner als x dividiert durch die Gesamtanzahl der Beobachtungen und dann diese Menge mit 100 mutlipliziert.

Wenn du erst Perzentile berechnen kannst, dann kannst du auch Dezile und Quartile bestimmen.

Das erste Quartil = das 25. Perzentil
Das zweite Quartil = das 50. Perzentil
Das dritte Quartil = das 75. Perzentil


Das erste Dezil = das 10. Perzentil
Das zweite Dezil = das 20. Perzentil
... Das neunte Dezil = das 90. Perzentil

Titel des Arbeitsblattes:






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